Definisi
dari sebuah Aljabar Boolean adalah sebuah system aljabar yang terdiri atas
himpunan semesta S bersama dengan dua buah operasi yaitu : penjumlahan/addition
(+) dan perkalian/multiplication ( . )
Aturan
aturan yang ada pada aljabar boolean pada intinya adalah pembentukan persamaan
yang menggunakan beberapa jenis operator (OR, AND, dan Negasi) sehingga aljabar
boolean merupakan alat matematis yang cocok untuk keperluan analisis rangkaian
logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metode
penyederhanaan agar fungsi booleannya menghasilkan fungsi yang sederhana
sehingga dapat membentuk rangkaian logika.
Penyederhanaan Fungsi Boolean yang pada saat
ini digunakan untuk menghasilkan suatu
rangkaian logika digital yang sederhana terdiri dari beberapa jenis metode
penyederhanaan. Metode-metode yang digunakan antara lain Metode Aljabar,
Metode
Peta Karnaugh, dan Metode Quine-McCluskey yang memiliki mekanisme kerja yang
berbeda untuk menghasilkan penyederhanaan untuk membentuk suatu rangkaian
logika digital.
Penyederhanaan secara Aljabar, dilakukan
dengan memodifikasi persamaan Boolean dimana dalam penyederhanaannya menggunakan
teorema / aksioma dualitas untuk membuat bentuk yang paling sederhana. Salah
satu cara yang dapat digunakan adalah memanipulasi Aljabar Boolean.
Karena metode Aljabar Boolean bersifat trial
and error, maka penyederhanaan dengan metode aljabar ini tidak digunakan
dalam kasus nyata. Metode yang paling banyak digunakan adalah Peta Karnaugh
dimana cara menggambarkannya dengan sejumlah kotak berbentuk persegi panjang
yang berisi minimal term (minterm) dari fungsi booleannya dan banyaknya
kotak bergantung pada banyaknya jumlah input dari fungsi tersebut. Metode lain
yang digunakan adalah metode Quine-McCluskey atau biasa disebut dengan metode
tabulasi.
Pada prakteknya, fungsi boolean yang jumlah
variabelnya kurang dari empat dapat dengan mudah disederhanakan menggunakan
metode Aljabar dan Peta Karnaugh. Sedangkan fungsi boolean yang jumlah
variabelnya lebih dari empat, kedua metode diatas sering kali menghasilkan
penyederhanaan fungsi yang bentuknya tidak sederhana. Metode Quine-McCluskey
lebih tepat untuk menyelesaikan kasus ini. Penyederhanaan dengan menggunakan
metode Quine McCluskey dilakukan dengan cara
menyatakan variabel komplemen dengan 0 variabel bukan komplemen dengan 1
dari bentuk baku fungsi booleannya, setelah itu mengkelompokan suku-suku berdasarkan
jumlah 1 lalu mengkombinasikan suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang
jumlah 1 -nya berbeda satu sehingga diperoleh bentuk prime yang sederhana untuk
mencari prime implicants serta memilih prime implicants yang mempunyai jumlah
literal paling sedikit.
Metode Peta Karnaugh
Cara menggambarkan Peta Karnaugh adalah dengan dengan
cara menggambarkan sejumlah kotak berbentuk persegi panjang yang berisi minimal
term / minterm dari persamaan logika. Banyaknya kotak-kotak
tergantung pada banyaknya jumlah input yang diberikan pada rangkaian logika.
Adapun rumus yang digunakan untuk menentukan banyaknya
kotak dari Peta Karnaugh adalah :
A = 2n
Untuk lebih jelasnya akan diperhatikan pada tabel dibawah ini :
Tabel 2.7. Tabel Variasi Pada Peta Karnaugh
Variable
Input
|
Kombinasi
|
Jumlah
Term
|
1
|
21
|
2
|
2
|
22
|
4
|
3
|
23
|
8
|
4
|
24
|
16
|
Sebuah rangkaian logika yang mempunyai 2 buah input,
maka akan mempunyai 4 buah variabel input (sesuai dengan rumus 2n =
22 = 4).
Bentuk Peta
Karnaughnya adalah seperti dibawah ini :
Gambar 2.3. Peta Karnaugh dengan Dua Variabel
Peta Karnaugh dengan Tiga Variabel Input
Dalam
sebuah rangkaian logika yang mempunyai tiga buah input, akan mempunyai 8 buah
kombinasi variabel input ( 23 ). Jadi sebuah Peta Karnaugh dari
sebuah rangkaian logika dengan 3 buah input akan memiliki 8 buah kotak.
Bentuk Peta
Karnaughnya adalah :
Gambar 2.4. Peta Karnaugh dengan Tiga variabel
Bila kita perhatikan, penempatan nilai 11 ada dikolom
ketiga dari Peta Karnaugh tiga variabel. Prinsip yang dipergunakan adalah
perubahan antara kolom yang satu dengan yang lainnya harus memiliki satu nilai
perubahan saja. Demikian juga dengan Peta Karnaugh diatas, kolom ke-2 = 01maka
pada kolom berikutnya (ke-3) harus 00 atau 11, karena pada kolom pertama 00
sudah didefinisikan, maka kolom ke-3 diisi dengan nilai 11.
Peta Karnaugh dengan Empat Variabel Input.
Apabila sebuah rangkaian logika mempunyai empat buah variabel input,
maka akan dihasilkan sebanyak 16 buah kombinasi variabel input. Untuk
menggambarkan Peta Karnaugh dengan 4 buah input, maka harus dibuatkan 16 buah
kotak.
Gambar 2.5. Peta Karnaugh dengan Empat Variabel
Peta Karnaugh dengan Lima Variabel Input.
Apabila
sebuah rangkaian logika mempunyai lima buah variabel input, maka akan
dihasilkan sebanyak 32 buah kombinasi variabel input. Untuk menggambarkan Peta
Karnaugh dengan 5 buah input, maka harus dibuatkan 32 buah kotak.
Gambar 2.6. Peta Karnaugh dengan Lima
variabel
Penggunaan Peta Karnaugh
Penggunaan
Peta Karnaugh dapat dijelaskan dengan contoh persamaan seperti dibawah ini
berdasarkan tabel kebenaran dari AND GATE.
F = ABC + ABC + ABC +
ABC+ ABC {Pers. 2.7}
Dengan tabel
kebenaran :
Tabel 2. 8. Tabel Kebenaran
A
|
B
|
C
|
F
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
A’B’C
A’B C
A B’C
A B C’
A B C
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Dari tabel kebenaran diatas, pada
kolom F terdapat angka logika 0 dan 1 yang akan disederhanakan adalah mempunyai
hasil 1 dan selanjutnya dikonversikan kedalam Peta Karnaugh seperti dibawah ini
:
Gambar 2.7. Hasil Konversi
Didalam kotak-kotak tersusun angka logika 1 dan logika 0, dimana
angka logika 1 letaknya bisa berdekatan / berdampingan dan bisa juga berjauhan
tergantung bentuk soal yang mempunyai nilai 1.
Berdasarkan letak angka 1 maka akan didapat beberapa kemungkinan
yang akan terjadi, yaitu sebagai berikut :
1.
PAIR, apabila ada dua angka
logika 1 yang berdampingan.
2.
QUAD, apabila ada empat angka
logika 1 berdampingan.
3.
OKTET, apabila ada delapan
angka logika 1 berdampingan.
4.
ROLLING (melingkar), apabila
nilai logika 1 yang terdapat pada kolom sebelah kiri dengan nilai logika 1 pada
kolom sebelah kanan, atau nilai logika 1 pada baris paling atas dengan logika 1
pada baris paling bawah.
5.
OVERLAPPING, apabila pembacaan
logika 1 yang digunakan lebih dari 1 (satu) kali.
Pasangan yang terbentuk
dari angka 1 yang berdampingan seperti pada contoh penyederhanaan diatas adalah
sebuah pair dan sebuah quad .
Langkah-langkah
penyederhanaan rangkaian logika dengan menggunakan Peta Karnaugh bila secara
singkat adalah sebagai berikut : .
1.
Masukkan angka-angka 1 ke dalam
Peta Karnaugh untuk setiap hasil kali fundamental yang bersesuaian dengan
kelaran 1 dalam tabel logika.
Tulislah angka-angka 0 ditempat-tempat yang tersisa
2.
Lingkarilah pair, quad, oktet,
dan pasangan yang ada pada peta. Jangan lupa melakukan proses pengulangan dan
penandaan kelompok-kelompok tumpang tindih untuk memperoleh kelompok yang
sebesar mungkin.
3.
Lingkarilah sisa-sisa angka 1
yang terisolasi.
4.
Hapuslah kelompok-kelompok
kelebihan bilamana ada.
5.
Tulislah persamaan boolean
dalam pernyataan operasi OR dari hasil kali yang bersesuaian dengan
kelompok-kelompok yang dilingkari dalam Peta Karnaugh.
6.
Gambarlah rangkaian logika
ekivalennya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar